Heat kernel for random walk trace on ℤ3 and ℤ4

Abstract

We study the simple random walk X on the range of simple random walk on ℤ³ and ℤ⁴. In dimension four, we establish quenched bounds for the heat kernel of X and max_0≤k≤n|X_k| which require extra logarithmic correction terms to the higher-dimensional case. In dimension three, we demonstrate anomalous behavior of X at the quenched level. In order to establish these estimates, we obtain several asymptotic estimates for cut times of simple random walk and asymptotic estimates for loop-erased random walk, which are of independent interest.

Nous étudions la marche aléatoire simple sur l’ensemble des points visités par une marche aléatoire simple sur ℤ³ et ℤ⁴. En dimension quatre, nous établissons des bornes presque sûres pour le noyau de la chaleur de X et pour max_0≤k≤n|X_k| qui nécessitent des termes correctifs logarithmiques. En dimension trois, nous montrons que X à un comportement non diffusif presque sûrement. Pour démontrer ces résultats, nous obtenons des estimées asymptotiques pour les temps de coupure de la marche aléatoire simple et pour la marche à boucles effacées qui sont intéressantes en elles-mêmes.