The ODE method for some self-interacting diffusions on ℝd

Abstract

The aim of this paper is to study the long-term behavior of a class of self-interacting diffusion processes on ℝ^d. These are solutions to SDEs with a drift term depending on the actual position of the process and its normalized occupation measure μ_t. These processes have so far been studied on compact spaces by Benaïm, Ledoux and Raimond, using stochastic approximation methods. We extend these methods to ℝ^d, assuming a confinement potential satisfying some conditions. These hypotheses on the confinement potential are required since in general the process can be transient, and is thus very difficult to analyze. Finally, we illustrate our study with an example on ℝ².

Le but de cet article est d’étudier le comportement asymptotique d’une classe de processus en auto-interaction sur ℝ^d. Ces processus de diffusion s’écrivent comme solution d’E.D.S. dont le terme de dérive dépend à la fois de la position actuelle du processus et de sa mesure empirique μ_t. Jusqu’à présent, Benaïm, Ledoux et Raimond ont mené l’étude de ce type de diffusions sur des espaces compacts, via des méthodes d’approximation stochastique. Nous étendons ces techniques à ℝ^d, en supposant l’existence d’un potentiel de confinement (vérifiant certaines conditions). Nous avons besoin de ces hypothèses sur le potentiel de confinement, car, en général, un tel processus peut être transient. Nous concluons cet article par un exemple sur ℝ².