We study the hydrodynamic limit for some conservative particle systems with degenerate rates, namely with nearest neighbor exchange rates which vanish for certain configurations. These models belong to the class of kinetically constrained lattice gases (KCLG) which have been introduced and intensively studied in physical literature as simple models for the liquid/glass transition. Due to the degeneracy of rates there exist blocked configurations which do not evolve under the dynamics and in general the hyperplanes of configurations with a fixed number of particles can be decomposed into different irreducible sets. As a consequence, both the Entropy and Relative Entropy method cannot be straightforwardly applied to prove the hydrodynamic limit of KCLG. In particular, some care should be put when proving the One and Two-block Lemmas which guarantee local convergence to equilibrium. We show that, for initial profiles smooth enough and bounded away from zero and one, the macroscopic density profile for our KCLG evolves under the diffusive time scaling according to the porous medium equation. Then we prove the same result for more general profiles for a slightly perturbed dynamics obtained by adding jumps of the Symmetric Simple Exclusion. The role of the latter is to remove the degeneracy of rates and at the same time they are properly slowed down in order not to change the macroscopic behavior. The equilibrium fluctuations and the magnitude of the spectral gap for this perturbed model are also obtained.

On étudie la limite hydrodynamique de systèmes de particules évoluant selon une dynamique de Kawasaki dont le taux de saut est nul si la configuration ne satisfait pas à des contraintes locales particulières. Ces modéles appartiennent à la classe de modéles avec contraintes cinétiques qui ont été introduits et etudiés en physique pour modéliser la transition liquide/verre. La présence de ces contraintes entraîne l’existence de configurations gelées. En particulier, les hyperplans de configurations avec un nombre fixé de particules peuvent etre decomposés en plusieurs composantes irréductibles. Par conséquent, les méthodes usuelles de l’Entropie et de l’Entropie Relative ne peuvent être utilisées pour établir la limite hydrodynamique. On démontre dans cet article que sous une échelle diffusive la densité évolue selon une équation des milieux poreux pour des profils de densité initiaux strictement positifs et réguliers, le même résultat est démontré pour des conditions initiales plus générales pour la dynamique superposée à une dynamique d’exclusion simple symmétrique sous-diffusive.

This paper proves a version for stochastic differential equations of the Lie–Scheffers theorem. This result characterizes the existence of nonlinear superposition rules for the general solution of those equations in terms of the involution properties of the distribution generated by the vector fields that define it. When stated in the particular case of standard deterministic systems, our main theorem improves various aspects of the classical Lie–Scheffers result. We show that the stochastic analog of the classical Lie–Scheffers systems can be reduced to the study of Lie group valued stochastic Lie–Scheffers systems; those systems, as well as those taking values in homogeneous spaces are studied in detail. The developments of the paper are illustrated with several examples.

Ce papier contient une généralisation du Théorème de Lie–Scheffers aux équations différentielles stochastiques. Ce résultat caractérise l’existence de règles de superposition non linéaires pour la solution générale de ces équations, en termes des propriétés d’involution de la distribution engendrée par les champs vecteurs qui les définissent. Dans le cas particulier des systèmes déterministes, notre théorème principal améliore certains aspects du théorème de Lie–Scheffers traditionnel. Nous montrons que l’analogue stochastique des systèmes de Lie–Scheffers classiques peuvent être réduits à l’étude des systèmes de Lie–Scheffers stochastiques à valeurs dans un groupe de Lie; ces systèmes, ainsi que ceux qui prennent des valeurs dans des espaces homogènes sont étudiés en détail. Les développements de ce papier sont illustrés avec plusieurs exemples.

Let $(X,{\mathfrak{X}},\mu)$ be a standard probability space. We say that a sub-σ-algebra ${\mathfrak{B}}$ of ${\mathfrak{X}}$ decomposes μ in an ergodic way if any regular conditional probability ${}^{\mathfrak{B}}\!\!P$ with respect to ${\mathfrak{B}}$ and μ satisfies, for μ-almost every x∈X, $\forall B\in{\mathfrak{B}},{}^{\mathfrak{B}}\!\!P(x,B)\in\{0,1\}$. In this case the equality $\mu(\cdot)=\int_{X}{}^{\mathfrak{B}}\!\!P(x,\cdot)\mu(\mathrm{d}x)$, gives us an integral decomposition in “${\mathfrak{B}}$-ergodic” components.

For any sub-σ-algebra ${\mathfrak{B}}$ of ${\mathfrak{X}}$, we denote by $\overline{\mathfrak{B}}$ the smallest sub-σ-algebra of ${\mathfrak{X}}$ containing ${\mathfrak{B}}$ and the collection of all sets A in ${\mathfrak{X}}$ satisfying μ(A)=0. We say that ${\mathfrak{B}}$ is μ-complete if ${\mathfrak{B}}=\overline{\mathfrak{B}}$.

Let $\{{\mathfrak{B}}_{i}\dvt i\in I\}$ be a non-empty family of sub-σ-algebras which decompose μ in an ergodic way. Suppose that, for any finite subset J of I, $\bigcap_{i\in J}\overline{{\mathfrak{B}}_{i}}=\overline{\bigcap_{i\in J}{\mathfrak{B}}_{i}}$; this assumption is satisfied in particular when the σ-algebras ${\mathfrak{B}}_{i}, i∈I, are μ-complete. Then we prove that the sub-σ-algebra $\bigcap_{i\in I}{\mathfrak{B}}_{i}$ decomposes μ in an ergodic way.

Soit $(X,{\mathfrak{X}},\mu)$ un espace probabilisé standard. Nous disons qu’une sous-tribu ${\mathfrak{B}}$ de ${\mathfrak{X}}$ décompose ergodiquement μ si toute probabilité conditionnelle régulière ${}^{\mathfrak{B}}\!\!P$ relativement à ${\mathfrak{B}}$ et μ, vérifie, pour μ-presque tout x∈X, $\forall B\in {\mathfrak{B}},{}^{\mathfrak{B}}\!\!P(x,B)\in\{0,1\}$. Dans ce cas l’égalité $\mu(\cdot)=\int_{X}{}^{\mathfrak{B}}\!\!P(x,\cdot)\mu(\mathrm{d}x)$, nous donne une décomposition intégrale en composantes “${\mathfrak{B}}$-ergodiques.”

Pour toute sous-tribu "${\mathfrak{B}}$ de ${\mathfrak{X}}$, nous notons $\overline{\mathfrak{B}}$ la plus petite sous-tribu de ${\mathfrak{X}}$ contenant ${\mathfrak{B}}$ et tous les sous-ensembles mesurables de X de μ-mesure nulle. Nous disons que la tribu ${\mathfrak{B}}$ est μ-complète si ${\mathfrak{B}}=\overline{\mathfrak{B}}$.

Soit $\{{\mathfrak{B}}_{i}\dvt i\in I\}$ une famille non vide de sous-tribus de ${\mathfrak{X}}$ décomposant ergodiquement μ. Supposons que, pour toute partie finie J de I, $\bigcap_{i\in J}\overline{{\mathfrak{B}}_{i}}=\overline{\bigcap_{i\in J}{\mathfrak{B}}_{i}}$; cette hypothèse est satisfaite si les tribus ${\mathfrak{B}}_{i}$, i∈I, sont μ-complètes. Alors la sous-tribu $\bigcap_{i\in I}{\mathfrak{B}}_{i}$ décompose ergodiquement μ.

Uniqueness of the martingale problem corresponding to a degenerate SDE which models catalytic branching networks is proven. This work is an extension of the paper by Dawson and Perkins [Illinois J. Math. 50 (2006) 323–383] to arbitrary catalytic branching networks. As part of the proof estimates on the corresponding semigroup are found in terms of weighted Hölder norms for arbitrary networks, which are proven to be equivalent to the semigroup norm for this generalized setting.

On prouve l’unicité d’un problème de martingale correspondant à une EDS dégénerée, qui apparaît comme un modèle de réseaux avec branchement catalytique. Ce travail est une extension des résultats de Dawson et Perkins [Illinois J. Math. 50 (2006) 323–383] au cas de réseaux généraux. On obtient en particulier des estimées pour le semi-groupe des réseaux généraux, sous forme de normes de Hölder pondérées; et on établit l’équivalence de ces normes avec des normes de semi-groupe dans ce contexte général.

This paper deals with homogenization of second order divergence form parabolic operators with locally stationary coefficients. Roughly speaking, locally stationary coefficients have two evolution scales: both an almost constant microscopic one and a smoothly varying macroscopic one. The homogenization procedure aims to give a macroscopic approximation that takes into account the microscopic heterogeneities. This paper follows [Probab. Theory Related Fields (2009)] and improves this latter work by considering possibly degenerate diffusion matrices.

Nous étudions l’homogénéisation d’opérateurs paraboliques du second ordre sous forme divergence à coefficients localement stationnaires. Ces coefficients présentent deux échelles d’évolution: une évolution microscopique presque constante et une évolution macroscopique régulière. La théorie de l’homogénéisation consiste à donner une approximation macroscopique de l’opérateur initial qui tient compte des hétérogénéités microscopiques. Cet article fait suite à [Probab. Theory Related Fields (2009)] et généralise ce dernier en considérant des matrices de diffusion pouvant dégénérer.

In this paper, we establish a small time large deviation principle (small time asymptotics) for the two-dimensional stochastic Navier–Stokes equations driven by multiplicative noise, which not only involves the study of the small noise, but also the investigation of the effect of the small, but highly nonlinear, unbounded drifts.

Dans cet article, nous établissons un principe de grandes déviations en temps petit pour l’équation de Navier–Stokes bi-dimensionnelle stochastique conduite par un bruit multiplicatif. Celui-ci nécessite non seulement l’étude d’un bruit faible, mais aussi la compréhension des effets de dérives petites mais non bornées et non linéaires.

We develop a cavity method for the spherical Sherrington–Kirkpatrick model at high temperature and small external field. As one application we compute the limit of the covariance matrix for fluctuations of the overlap and magnetization.

Nous développons la méthode de la cavité pour le modèle sphérique de Sherrington–Kirkpatrick à haute température et champs externe faible. Nous illustrons la méthode par le calcul de la matrice de covariance des fluctuations des recouvrements et de la magnétisation.

We consider the one-dimensional asymmetric simple exclusion process (ASEP) in which particles jump to the right at rate p∈(1/2, 1] and to the left at rate 1−p, interacting by exclusion. In the initial state there is a finite region such that to the left of this region all sites are occupied and to the right of it all sites are empty. Under this initial state, the hydrodynamical limit of the process converges to the rarefaction fan of the associated Burgers equation. In particular suppose that the initial state has first-class particles to the left of the origin, second-class particles at sites 0 and 1, and holes to the right of site 1. We show that the probability that the two second-class particles eventually collide is (1+p)/(3p), where a collision occurs when one of the particles attempts to jump over the other. This also corresponds to the probability that two ASEP processes, started from appropriate initial states and coupled using the so-called “basic coupling,” eventually reach the same state. We give various other results about the behaviour of second-class particles in the ASEP. In the totally asymmetric case (p=1) we explain a further representation in terms of a multi-type particle system, and also use the collision result to derive the probability of coexistence of both clusters in a two-type version of the corner growth model.

Nous considérons le processus d’exclusion simple et asymétrique (ASEP) dans une dimension, dans lequel chaque particule saute à droite au taux p∈(1/2, 1] et à gauche au taux 1−p, avec interaction par exclusion. Dans l’état initial, il y a une région finie telle qu’à gauche de cette région, tous les sites sont occupés et qu’à sa droite, tous les sites sont vides. A partir de cet état initial, la limite hydrodynamique du processus converge à la solution de l’équation de Burgers associée. En particulier, supposez que l’état initial met des particules de première classe à gauche de l’origine, des particules de deuxième classe aux sites 0 et 1, et des vides à droite du site 1. Nous montrons que la probabilité que les deux particules de deuxième classe entrent en collision est (1+p)/(3p), où une collision se produit lorsque l’une des particules essaie de sauter sur la position de l’autre. Cela correspond également à la probabilité que deux processus ASEP, sous un couplage naturel et à partir d’une condition initiale appropriée, finissent par atteindre le même état. Nous donnons d’autres résultats sur le comportement des particules de deuxième classe dans le processus ASEP. Dans le cas totalement asymétrique (p=1), nous donnons une nouvelle représentation en termes d’un système de particules avec plusieurs types, et à l’aide du résultat sur la probabilité de collision, nous dérivons la probabilité de coexistence de deux amas dans un modèle de croissance avec deux types.

Under some mild condition, a random walk in the plane is recurrent. In particular each trajectory is dense, and a natural question is how much time one needs to approach a given small neighbourhood of the origin. We address this question in the case of some extended dynamical systems similar to planar random walks, including ℤ²-extension of mixing subshifts of finite type. We define a pointwise recurrence rate and relate it to the dimension of the process, and establish a result of convergence in distribution of the rescaled return time near the origin.

Sous certaines conditions, une marche aléatoire dans le plan est récurrente. En particulier, chaque trajectoire est dense, et il est naturel d’estimer le temps nécessaire pour revenir dans un petit voisinage de l’origine. Nous nous intéressons à cette question dans le cas de systèmes dynamiques étendus similaires à des marches aléatoires planaires, notamment celui des ℤ²-extension de sous-shifts de type fini mélangeants. Nous déterminons une vitesse de convergence ponctuelle que nous relions à la dimension du processus et nous établissons un résultat de convergence en loi du temps de retour à l’origine, correctement normalisé.

Weighted power variations of fractional Brownian motion B are used to compute the exact rate of convergence of some approximating schemes associated to one-dimensional stochastic differential equations (SDEs) driven by B. The limit of the error between the exact solution and the considered scheme is computed explicitly.

On étudie la vitesse exacte de convergence de certains schémas d’approximation associés à des équations différentielles stochastiques scalaires dirigées par le mouvement brownien fractionnaire B. On utilise le comportement asymptotique des variations à poids de B, et la limite de l’erreur entre la solution et son approximation est calculée de façon explicite.

Given a family of Lévy measures ν={ν(x, ⋅)}_x∈ℝ^d, the present work deals with the regularity of harmonic functions and the Feller property of corresponding jump processes. The main aim is to establish continuity estimates for harmonic functions under weak assumptions on the family ν. Different from previous contributions the method covers cases where lower bounds on the probability of hitting small sets degenerate.

Soit ν={ν(x, ⋅)}_x∈ℝ^d une famille de mesures de Lévy, ce travail étudie la régularité de fonctions harmoniques et la propriété de Feller du processus de saut correspondant. Le but principal est d’établir des estimations de continuité pour les fonctions harmoniques sous des conditions faibles sur la famille ν. À la différence des contributions précédentes cette méthode couvre des cas où les bornes inférieures de la probabilité d’atteindre de petits ensembles dégénèrent.

Statistically self-similar measures on [0, 1] are limit of multiplicative cascades of random weights distributed on the b-adic subintervals of [0, 1]. These weights are i.i.d., positive, and of expectation 1/b. We extend these cascades naturally by allowing the random weights to take negative values. This yields martingales taking values in the space of continuous functions on [0, 1]. Specifically, we consider for each H∈(0, 1) the martingale (B_n)_n≥1 obtained when the weights take the values −b^−H and b^−H, in order to get B_n converging almost surely uniformly to a statistically self-similar function B whose Hölder regularity and fractal properties are comparable with that of the fractional Brownian motion of exponent H. This indeed holds when H∈(1/2, 1). Also the construction introduces a new kind of law, one that it is stable under random weighted averaging and satisfies the same functional equation as the standard symmetric stable law of index 1/H. When H∈(0, 1/2], to the contrary, B_n diverges almost surely. However, a natural normalization factor a_n makes the normalized correlated random walk B_n/a_n converge in law, as n tends to ∞, to the restriction to [0, 1] of the standard Brownian motion. Limit theorems are also associated with the case H>1/2.

Les mesures sur [0, 1] auto-similaires en loi sont limites de processus multiplicatifs construits à partir de poids aléatoires distribués sur les sous-intervalles b-adiques de [0, 1]. Ces poids sont i.i.d., positifs et d’espérance 1/b. Il est naturel d’étendre la construction à des poids prenant des valeurs négatives. On obtient alors des martingales à valeurs dans les fonctions continues sur [0, 1]. Nous nous intéressons, pour H∈(0, 1), à la martingale (B_n)_n≥1 de ce type construite en prenant des poids à valeurs dans {−b^−H, b^−H}, afin que B_n converge presque sûrement uniformément vers une fonction B auto-similaire en loi dont la régularité Höldérienne et les propriétés fractales soient comparables à celles du mouvement brownien fractionnaire d’exposant H. C’est bien le cas lorsque H∈(1/2, 1), et la construction fournit alors un nouvel exemple de loi invariante par moyenne pondérée aléatoire. Cette loi satisfait la même équation fonctionnelle qu’une loi stable symétrique usuelle d’indice 1/H. Si H∈(0, 1/2], B_n diverge presque sûrement, mais il existe une normalisation naturelle par une suite (a_n)_n≥1 telle que la marche aléatoire corrélée normalisée B_n/a_n converge en loi vers la restriction à [0, 1] du mouvement brownien standard. Des théorèmes limites sont également associés au cas H>1/2.

We present a further analysis of the fragmentation at heights of the normalized Brownian excursion. Specifically we study a representation for the mass of a tagged fragment in terms of a Doob transformation of the 1/2-stable subordinator and use it to study its jumps; this accounts for a description of how a typical fragment falls apart. These results carry over to the height fragmentation of the stable tree. Additionally, the sizes of the fragments in the Brownian height fragmentation when it is about to reduce to dust are described in a limit theorem.

Une étude additionnelle de la fragmentation de hauteur brownienne est présentée. Plus précisément, une représentation de la masse du fragment marqué en termes d’une transformation de Doob du subordinateur stable d’indice 1/2 est décrite puis utilisée pour étudier les sauts du processus de masse; ceci nous renseigne sur la façon dans laquelle un fragment typique se casse. Ces résultats se généralisent au cadre des fragmentations de hauteur de l’arbre stable. Enfin, nous donnons un théorème limite de la fragmentation de l’excursion Brownienne par les hauteurs, centrée autour du dernier fragment qui se décompose en poussière.

We study the asymptotics of the even moments of solutions to a stochastic wave equation in spatial dimension 3 with linear multiplicative spatially homogeneous Gaussian noise that is white in time. Our main theorem states that these moments grow more quickly than one might expect. This phenomenon is well known for parabolic stochastic partial differential equations, under the name of intermittency. Our results seem to be the first example of this phenomenon for hyperbolic equations. For comparison, we also derive bounds on moments of the solution to the stochastic heat equation with the same linear multiplicative noise.

Nous étudions le comportement asymptotique des moments pairs de la solution d’une équation des ondes stochastique en dimension spatiale 3 avec bruit gaussien multiplicatif linéaire spatiallement homogène et blanc en temps. Notre résultat principal affirme que ces moments croissent plus rapidement qu’attendu. Ce phénomène est bien connu dans le cadre d’équations aux dérivées partielles stochastiques paraboliques, sous le nom d’ “intermittence.” Nos résultats mettent en évidence ce phénomène pour la première fois dans le cadre d’équations hyperboliques. Afin de comparer les deux situations, nous établissons aussi des bornes sur les moments de la solution d’une équation de la chaleur stochastique avec le même bruit multiplicatif linéaire.

When two Markov operators commute, it suggests that we can couple two copies of one of the corresponding processes. We explicitly construct a number of couplings of this type for a commuting family of Markov processes on the set of conjugacy classes of the unitary group, using a dynamical rule inspired by the RSK algorithm. Our motivation for doing this is to develop a parallel programme, on the circle, to some recently discovered connections in random matrix theory between reflected and conditioned systems of particles on the line. One of the Markov chains we consider gives rise to a family of Gibbs measures on “bead configurations” on the infinite cylinder. We show that these measures have determinantal structure and compute the corresponding space–time correlation kernel.

Quand deux opérateurs de Markov commutent, cela suggère que nous pouvons coupler deux copies d’un des processus correspondants. Nous construisons explicitement un certain nombre de couplages de ce type pour une famille de processus de Markov qui commutent sur l’ensemble des classes de conjugaison du groupe unitaire. Nous utilisons, à cette fin, une règle dynamique inspirée par l’algorithme RSK. Notre motivation est de développer un programme parallèle sur le cercle, pour des connections récemment mises à jour dans la théorie des matrices aléatoires entre des systèmes de particules réfléchies et conditionnées sur la droite. Une des chaînes de Markov que nous considérons donne lieu à une famille de mesures de Gibbs sur des configurations de perles sur le cylindre infini. Nous prouvons que ces mesures ont la structure déterminantale et calculons le noyau de corrélation espace-temps correspondant.