In this paper we study a random walk on an affine building of type Ã_r, whose radial part, when suitably normalized, converges toward the Brownian motion of the Weyl chamber. This gives a new discrete approximation of this process, alternative to the one of Biane (Probab. Theory Related Fields 89 (1991) 117–129). This extends also the link at the probabilistic level between Riemannian symmetric spaces of the noncompact type and their discrete counterpart, which had been previously discovered by Bougerol and Jeulin in rank one (C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 333 (2001) 785–790). The main ingredients of the proof are a combinatorial formula on the building and the estimate of the transition density proved in Anker et al. (2006).

Dans cet article nous étudions une marche aléatoire sur un immeuble affine de type Ã_r, dont la partie radiale renormalisée, converge vers le mouvement Brownien de la chambre de Weyl. Cela fournit une nouvelle discrétisation de ce processus, alternative à celle de Biane (Probab. Theory Related Fields 89 (1991) 117–129). En même temps cela étend en rang supérieur la correspondance à un niveau probabiliste entre les espaces symétriques Riemanniens de type non compact et leur version discrète, les immeubles affines, qui fut mise en évidence par Bougerol et Jeulin en rang 1 (C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 333 (2001) 785–790). Les principaux ingrédients de la preuve sont une formule combinatoire sur l’immeuble et les estimations du noyau de transition démontrées dans Anker et al. (2006).

We consider the coarse-graining of a lattice system with continuous spin variable. In the first part, two abstract results are established: sufficient conditions for a logarithmic Sobolev inequality with constants independent of the dimension (Theorem 3) and sufficient conditions for convergence to the hydrodynamic limit (Theorem 8). In the second part, we use the abstract results to treat a specific example, namely the Kawasaki dynamics with Ginzburg–Landau-type potential.

Nous étudions un système sur réseau à variable de spin continue. Dans la première partie, nous établissons deux résultats abstraits : des conditions suffisantes pour une inégalité de Sobolev logarithmique avec constante indépendante de la dimension (Théorème 3), et des conditions suffisantes pour la convergence vers la limite hydrodynamique (Theorème 8). Dans la seconde partie, nous utilisons ces résultats abstraits pour traiter un exemple spécifique, à savoir la dynamique de Kawasaki avec un potentiel de type Ginzburg–Landau.

In a convolution model, we observe random variables whose distribution is the convolution of some unknown density f and some known noise density g. We assume that g is polynomially smooth. We provide goodness-of-fit testing procedures for the test H₀: f=f₀, where the alternative H₁ is expressed with respect to $\mathbb{L}_{2}$-norm (i.e. has the form $\psi_{n}^{-2}\|f-f_{0}\|_{2}^{2}\ge \mathcal{C}$). Our procedure is adaptive with respect to the unknown smoothness parameter τ of f. Different testing rates (ψ_n) are obtained according to whether f₀ is polynomially or exponentially smooth. A price for adaptation is noted and for computing this, we provide a non-uniform Berry–Esseen type theorem for degenerate U-statistics. In the case of polynomially smooth f₀, we prove that the price for adaptation is optimal. We emphasise the fact that the alternative may contain functions smoother than the null density to be tested, which is new in the context of goodness-of-fit tests.

Dans un modèle de convolution, les observations sont des variables aléatoires réelles dont la distribution est la convoluée entre une densité inconnue f et une densité de bruit g supposée entièrement connue. Nous supposons que g est de régularité polynomiale. Nous proposons un test d’adéquation de l’hypothèse H₀: f=f₀ lorsque l’alternative H₁ est exprimée à partir de la norme $\mathbb{L}_{2}$ (i.e. de la forme $\psi_{n}^{-2}\|f-f_{0}\|_{2}^{2}\ge\mathcal{C}$). Cette procédure est adaptative par rapport au paramètre inconnu τ qui décrit la régularité de f. Nous obtenons différentes vitesses de test (ψ_n) en fonction du type de régularité de f₀ (polynomiale ou bien exponentielle). L’adaptativité induit une perte sur la vitesse de test, perte qui est calculée grâce à un théorème de type Berry–Esseen non-uniforme pour des U-statistiques dégénérées. Dans le cas d’une régularité polynomiale pour f₀, nous prouvons que cette perte est optimale. Soulignons que l’alternative peut éventuellement inclure des densités qui sont plus régulières que la densité à tester sous l’hypothèse nulle, ce qui est un point de vue nouveau pour les tests d’adaptation.

We consider a multidimensional random walk in a product random environment with bounded steps, transience in some spatial direction, and high enough moments on the regeneration time. We prove an invariance principle, or functional central limit theorem, under almost every environment for the diffusively scaled centered walk. The main point behind the invariance principle is that the quenched mean of the walk behaves subdiffusively.

Nous considérons une marche aléatoire multidimensionnelle en environnement aléatoire produit. La marche est à pas bornés, transiente dans une direction spatiale donnée, et telle que le temps de régénération posséde un moment suffisamment haut. Nous prouvons un principe d’invariance, ou un théorème limite central fonctionnel, sous presque tout environnement pour la marche centrée et diffusivement normalisée. Le point principal derrière le principe d’invariance est que la moyenne trempée (quenched) de la marche est sous-diffusive.

Limiting laws, as t→∞, for Brownian motion penalised by the longest length of excursions up to t, or up to the last zero before t, or again, up to the first zero after t, are shown to exist, and are characterized.

Il est prouvé que les lois limites, lorsque t→∞, du mouvement brownien pénalisé par la plus grande longueur des excursions jusqu’en t, ou bien jusqu’au dernier zéro avant t, ou encore jusqu’au premier zéro après t, existent. Ces lois limites sont décrites en détail.

In this paper we derive the moderate deviation principle for stationary sequences of bounded random variables under martingale-type conditions. Applications to functions of ϕ-mixing sequences, contracting Markov chains, expanding maps of the interval, and symmetric random walks on the circle are given.

Dans cet article, nous établissons un principe de déviation modérée pour des suites stationnaires de variables aléatoires bornées sous différentes conditions projectives. Nous appliquons ces résultats aux suites ϕ-mélangeantes, à certaines chaînes de Markov contractantes, aux transformations uniformément dilatantes de l’intervalle, ainsi qu’à la marche aléatoire symétrique sur le cercle.

For a superprocess under a stochastic flow in one dimension, we prove that it has a density with respect to the Lebesgue measure. A stochastic partial differential equation is derived for the density. The regularity of the solution is then proved by using Krylov’s L_p-theory for linear SPDE.

Nous montrons que, sous un flot stochastique en dimension un, un superprocess a une densité par rapport à la mesure de Lebesgue. Nous déduisons une équation différentielle stochastique satisfaite par la densité. Nous montrons ensuite la régularité de la solution en utilisant la theorie de Krylov pour les EDPS linéaires dans L_p.

In dynamical percolation, the status of every bond is refreshed according to an independent Poisson clock. For graphs which do not percolate at criticality, the dynamical sensitivity of this property was analyzed extensively in the last decade. Here we focus on graphs which percolate at criticality, and investigate the dynamical sensitivity of the infinite cluster. We first give two examples of bounded degree graphs, one which percolates for all times at criticality and one which has exceptional times of nonpercolation. We then make a nearly complete analysis of this question for spherically symmetric trees with spherically symmetric edge probabilities bounded away from 0 and 1. One interesting regime occurs when the expected number of vertices at the nth level that connect to the root at a fixed time is of order n(log n)^α. R. Lyons (1990) showed that at a fixed time, there is an infinite cluster a.s. if and only if α>1. We prove that the probability that there is an infinite cluster at all times is 1 if α>2, while this probability is 0 if 1<α≤2. Within the regime where a.s. there is an infinite cluster at all times, there is yet another type of “phase transition” in the behavior of the process: if the expected number of vertices at the nth level connecting to the root at a fixed time is of order n^θ with θ>2, then the number of connected components of the set of times in [0, 1] at which the root does not percolate is finite a.s., while if 1<θ<2, then the number of such components is infinite with positive probability.

La percolation dynamique est un modèle dans lequel le statut de chaque arête est renouvelé aux temps de saut d’un processus de Poisson indépendent. Lorsque le graphe ne possède pas de composante infinie pour le paramètre critique de la percolation, la sensibilité dynamique de cette propriété a été étudiée en détail au cours des dix dernières années. Nous nous intéressons ici au cas des graphes pour lesquels il existe une composante infinie à la valeur critique. Tout d’abord, nous donnons deux exemples de graphes dont le degré est borné, l’un pour lequel il y a percolation à tout instant à la valeur critique, et l’autre pour lequel il existe des instants exceptionnels de non-percolation. Nous faisons ensuite une analyse quasiment complète de la question pour des arbres à symétrie sphérique, dans le cas où les probabilités d’arêtes sont également à symétrie sphérique et restent uniformément bornées loin de 0 et 1. Lorsque le nombre de sommets à distance n de la racine est de l’ordre de n(log n)^α, un résultat de R. Lyons affirme que, pour un instant fixé, il y a percolation si et seulement si α>1. Nous montrons qu’il y a une composante infinie à tout instant avec probabilité 1 lorsque α>2, tandis que cette probabilité vaut 0 lorsque 1<α≤2. Dans le cas où il y a percolation à tout instant, nous mettons en lumière l’existence d’une autre forme de transition de phase. Si le nombre moyen de sommets qui sont connectés à la racine à un instant fixé est de l’ordre de n^θ avec θ>2, le nombre de composantes connexes de l’ensemble des instants auquel la racine ne percole pas est fini presque sûrement, mais il est infini avec probabilité strictement positive quand 1<θ<2.

Let ξ(k, n) be the local time of a simple symmetric random walk on the line. We give a strong approximation of the centered local time process ξ(k, n)−ξ(0, n) in terms of a Brownian sheet and an independent Wiener process (Brownian motion), time changed by an independent Brownian local time. Some related results and consequences are also established.

Soit ξ(k, n) le temps local d’une marche aléatoire simple et symétrique sur la droite réelle. Nous donnons une approximation forte de la différence des temps locaux ξ(k, n)−ξ(0, n) en termes d’un drap Brownien et d’un processus de Wiener indépendant, évalué au temps local d’un mouvement Brownien indépendant. Des applications de ce résultat sont établies.

We study the pathwise regularity of the map $$φ↦I(φ)=∫_0^T〈φ(X_t),\mathrm{d}X_t〉,$$ where φ is a vector function on ℝ^d belonging to some Banach space V, X is a stochastic process and the integral is some version of a stochastic integral defined via regularization. A continuous version of this map, seen as a random element of the topological dual of V will be called stochastic current. We give sufficient conditions for the current to live in some Sobolev space of distributions and we provide elements to conjecture that those are also necessary. Next we verify the sufficient conditions when the process X is a d-dimensional fractional Brownian motion (fBm); we identify regularity in Sobolev spaces for fBm with Hurst index H∈(1/4, 1). Next we provide some results about general Sobolev regularity of currents when W is a standard Wiener process. Finally we discuss applications to a model of random vortex filaments in turbulent fluids.

Nous étudions la régularité trajectorielle de l’opérateur $$φ↦I(φ)=∫_0^T〈φ(X_t),\mathrm{d}X_t〉,$$ où φ est une fonction vectorielle à valeurs dans ℝ^d appartenant à un certain espace de Banach V, X est un processus stochastique et l’intégrale est une certaine version d’une intégrale stochastique définie via régularisation. Une version continue d’un tel opérateur, interprétée comme une variable aléatoire à valeurs dans le dual topologique de V sera appelée courant stochastique. Nous donnons des conditions suffisantes pour que le courant se situe dans un certain espace de Sobolev de distributions. De plus nous donnons des arguments qui permettent de conjecturer que ces conditions sont aussi nécessaires. Successivement nous vérifions la validité de ces conditions lorsque le processus X est un mouvement brownien fractionnaire (mbf) d-dimensionnel; en particulier, nous identifions la régularité de Sobolev pour un mbf d’indice de Hurst H∈(1/4, 1). Par suite, nous fournissons quelques résultats sur la régularité générale de Sobolev de courants relative à un mouvement brownien standard. Enfin nous discutons une application à un modèle de filaments de vorticité dans un fluide turbulent.

We study the decay rate of large deviation probabilities of occupation times, up to time t, for the voter model η: ℤ²×[0, ∞)→{0, 1} with simple random walk transition kernel, starting from a Bernoulli product distribution with density ρ∈(0, 1). In [Probab. Theory Related Fields 77 (1988) 401–413], Bramson, Cox and Griffeath showed that the decay rate order lies in [log(t), log²(t)].

In this paper, we establish the true decay rates depending on the level. We show that the decay rates are log²(t) when the deviation from ρ is maximal (i.e., η≡0 or 1), and log(t) in all other situations. This answers some conjectures in [Probab. Theory Related Fields 77 (1988) 401–413] and confirms nonrigorous analysis carried out in [Phys. Rev. E 53 (1996) 3078–3087], [J. Phys. A 31 (1998) 5413–5429] and [J. Phys. A 31 (1998) L209–L215].

On étudie le taux de décroissance des probabilités de grandes déviations des temps d’occupation, jusqu’à l’instant t, du modèle du votant η: ℤ²×[0, ∞)→{0, 1} ayant le noyau de transition d’une marche aléatoire simple et partant d’une distribution produit de Bernoulli de paramètre ρ∈(0, 1). Dans [Probab. Theory Related Fields 77 (1988) 401–413], Bramson, Cox et Griffeath ont montré que l’ordre du taux de décroissance se situe dans [log(t), log²(t)].

Dans cet article, nous établissons les taux de décroissance exacts dépendant du niveau. On prouve que les taux de décroissance sont log²(t) lorsque la déviation de ρ est maximale (i.e., η≡0 ou 1), et log(t) dans toutes les autres situations. Ceci répond à une conjecture de [Probab. Theory Related Fields 77 (1988) 401–413] et confirme l’analyse non rigoureuse effectuée dans [Phys. Rev. E 53 (1996) 3078–3087], [J. Phys. A 31 (1998) 5413–5429] et [J. Phys. A 31 (1998) L209–L215].