In previous work of D. Turaev, A. Winter and the author, the Law of Large Numbers for the local mass of certain superdiffusions was proved under an ergodicity assumption. In this paper we go beyond ergodicity, that is we consider cases when the scaling for the expectation of the local mass is not purely exponential. Inter alia, we prove the analog of the Watanabe–Biggins LLN for super-Brownian motion.

Dans un travail précédent, l’auteur, D. Turaev et A. Winter, ont prouvé la Loi des Grand Nombres pour la masse locale de certaines diffusions sous une hypothèse d’ergodicité. Dans cet article nous allons au delà de l’ergodicité, plus précisement nous considérons des cas où le scaling de l’espérance de la masse locale n’est pas purement exponentiel. Entre autres, nous prouvons l’analogue de la LGN de Watanabe–Biggins pour le super mouvement brownien.

Let $(X, Y)$ be a random couple in $S×T$ with unknown distribution $P$. Let $(X_1, Y_1), …, (X_n, Y_n)$ be i.i.d. copies of $(X, Y)$, $P_n$ being their empirical distribution. Let $h_1, …, h_N:S↦[−1, 1]$ be a dictionary consisting of $N$ functions. For $λ∈ℝ^N$, denote $f_λ:=∑_{j=1}^Nλ_jh_j$. Let $ℓ:T×ℝ↦ℝ$ be a given loss function, which is convex with respect to the second variable. Denote $(ℓ•f)(x, y):=ℓ(y; f(x))$. We study the following penalized empirical risk minimization problem $$\hat{\lambda}^{\varepsilon }:=\mathop{\operatorname {argmin}}_{\lambda\in {\mathbb{R}}^{N}}\bigl[P_{n}(\ell\bullet f_{\lambda})+\varepsilon \|\lambda\|_{\ell_{p}}^{p}\bigr],$$ which is an empirical version of the problem $$\lambda^{\varepsilon }:=\mathop{\operatorname{argmin}}_{\lambda\in {\mathbb{R}}^{N}}\bigl[P(\ell \bullet f_{\lambda})+\varepsilon \|\lambda\|_{\ell_{p}}^{p}\bigr]$$ (here $\varepsilon≥0$ is a regularization parameter; $λ^0$ corresponds to $\varepsilon=0$). A number of regression and classification problems fit this general framework. We are interested in the case when $p≥1$, but it is close enough to 1 (so that $p−1$ is of the order $\frac{1}{\log N}$, or smaller). We show that the “sparsity” of $λ^\varepsilon$ implies the “sparsity” of $\hat{\lambda}^\varepsilon$ and study the impact of “sparsity” on bounding the excess risk $P(ℓ•f_{{\hat{\lambda}^\varepsilon}})−P(ℓ•f_{{λ^0}})$ of solutions of empirical risk minimization problems.

Soit $(X, Y)$ un couple aléatoire à valeurs dans $S×T$ et de loi $P$ inconnue. Soient $(X_1, Y_1), …, (X_n, Y_n)$ des répliques i.i.d. de $(X, Y)$, de loi empirique associée $P_n$. Soit $h_1, …, h_N:S↦[−1, 1]$ un dictionnaire composé de $N$ fonctions. Pour tout $λ∈ℝ^N$, on note $f_λ:=∑_{j=1}^Nλ_jh_j$. Soit $ℓ:T×ℝ↦ℝ$ fonction de perte donnée que l’on suppose convexe en la seconde variable. On note $(ℓ•f)(x, y):=ℓ(y;f(x))$. On étudie le problème de minimisation du risque empirique pénalisé suivant $$\hat{\lambda}^{\varepsilon }:=\mathop{\operatorname {argmin}}_{\lambda\in {\mathbb{R}}^{N}}\bigl[P_{n}(\ell\bullet f_{\lambda})+\varepsilon \|\lambda\|_{\ell_{p}}^{p}\bigr],$$ qui correspond à la version empirique du problème $$\lambda^{\varepsilon }:=\mathop{\operatorname{argmin}}_{\lambda\in {\mathbb{R}}^{N}}\bigl[P(\ell \bullet f_{\lambda})+\varepsilon \|\lambda\|_{\ell_{p}}^{p}\bigr]$$ (ici $\varepsilon≥0$ est un paramètre de régularisation; $λ^0$ correspond au cas $\varepsilon=0$). Ce cadre général englobe un certain nombre de problèmes de régression et de classification. On s’intéresse au cas où $p≥1$, mais reste proche de 1 (de sorte que $p−1$ soit de l’ordre $\frac{1}{\log N}$, ou inférieur). On montre que la “sparsité” de $λ^\varepsilon$ implique la “sparsité” de $\hat{\lambda}^\varepsilon$. En outre, on étudie les conséquences de la “sparsité” en termes de bornes supérieures sur l’excès de risque $P(ℓ•f_{\hat{\lambda}^\varepsilon})−P(ℓ•f_{λ^0})$ des solutions obtenues pour les différents problèmes de minimisation du risque empirique.

In this paper, we consider a birth–death process with generator $\mathcal{L}$ and reversible invariant probability π. Given an increasing function ρ and the associated Lipschitz norm ‖⋅‖_Lip(ρ), we find an explicit formula for $\|(-\mathcal{L})^{-1}\|_{\operatorname {Lip}(\rho)}$. As a typical application, with spectral theory, we revisit one variational formula of M. F. Chen for the spectral gap of $\mathcal{L}$ in L²(π). Moreover, by Lyons–Zheng’s forward-backward martingale decomposition theorem, we get convex concentration inequalities for additive functionals of birth–death processes.

Dans ce travail, nous considérons un processus de naissance et de mort de générateur $\mathcal{L}$ et de probabilité invariante réversible π. Étant données une fonction strictement croissante ρ, et la norme lipschitzienne ‖⋅‖_Lip(ρ) par rapport à ρ, nous trouvons une représentation explicite de $\|(-\mathcal{L})^{-1}\|_{\operatorname{Lip}(\rho)}$. En guise d’une application typique, nous retrouvons une formule variationnelle de M. F. Chen pour le trou spectral de $\mathcal{L}$ dans L²(π). De plus, par la décomposition des martingales progressive-rétrogrades de Lyons–Zheng, nous obtenons des inégalités de concentration convexe pour des fonctionnelles additives de processus de naissance et de mort.

We consider a model of random walks on ℤ with finite range in a stationary and ergodic random environment. We first provide a fine analysis of the geometrical properties of the central left and right Lyapunov eigenvectors of the random matrix naturally associated with the random walk, highlighting the mechanism of the model. This allows us to formulate a criterion for the existence of the absolutely continuous invariant measure for the environments seen from the particle. We then deduce a characterization of the non-zero-speed regime of the model.

Nous considérons un modèle de marche aléatoire sur ℤ à pas bornés en environnement aléatoire stationnaire ergodique. Dans une première partie, nous détaillons les propriétés géométriques des vecteurs propres de Lyapunov centraux pour la matrice aléatoire naturellement associée à la marche, mettant en lumière le mécanisme du modèle. Nous formulons alors un critère, vectoriel dans les situations transientes, pour l’existence de la mesure invariante absolument continue pour les environnements vus depuis la particule. En corollaire, nous obtenons une caractérisation du régime avec vitesse non nulle.

In this paper, the object of study is a Skorohod SDE in a convex polyhedron with oblique reflection at the boundary. We prove that the solution is pathwise differentiable with respect to its deterministic starting point up to the time when two of the faces are hit simultaneously. The resulting derivatives evolve according to an ordinary differential equation, when the process is in the interior of the polyhedron, and they are projected to the tangent space, when the process hits the boundary, while they jump in the direction of the corresponding reflection vector.

L’object du présent travail est l’étude d’une équation différentielle stochastique de type Skorohod dans un polyèdre convexe avec réflexions obliques au bord. Nous démontrons que pour presque toutes les trajectoires, la solution est différentiable par rapport au point de départ jusqu’au temps où deux faces sont atteintes simultanément. Les dérivées sont à l’intérieur du polyèdre solutions d’une équation différentielle ordinaire. Au bord du polyèdre elles sont projetées dans l’espace tangeant en sautant en direction du vecteur de reflection correspondant.

This paper presents different approaches, based on functional inequalities, to study the speed of convergence in total variation distance of ergodic diffusion processes with initial law satisfying a given integrability condition. To this end, we give a general upper bound “à la Pinsker” enabling us to study our problem firstly via usual functional inequalities (Poincaré inequality, weak Poincaré,…) and truncation procedure, and secondly through the introduction of new functional inequalities $\mathcal{I}_{\psi}$. These $\mathcal {I}_{\psi}$-inequalities are characterized through measure-capacity conditions and F-Sobolev inequalities. A direct study of the decay of Hellinger distance is also proposed. Finally we show how a dynamic approach based on reversing the role of the semi-group and the invariant measure can lead to interesting bounds.

Nous étudions ici la vitesse de convergence, pour la distance en variation totale, de diffusions ergodiques dont la loi initiale satisfait une intégrabilité donnée. Nous présentons différentes approches basées sur l’utilisation d’inégalités fonctionnelles. La première étape consiste à donner une borne générale à la Pinsker. Cette borne permet alors d’utiliser, en les combinant à une procedure de troncature, des inégalités usuelles (telles Poincaré ou Poincaré faibles,…). Dans un deuxième temps nous introduisons de nouvelles inégalités appelées $\mathcal {I}_{\psi}$ que nous caractérisons à l’aide de condition de type capacité-mesure et d’inégalités de type F-Sobolev. Une étude directe de la distance de Hellinger est également proposée. Pour conclure, une approche dynamique basée sur le renversement du rôle du semigroupe de diffusion et de la mesure invariante permet d’obtenir de nouvelles bornes intéressantes.

On présente une formule explicite pour la constante de Sobolev logarithmique correspondant à des diffusions réelles ou à des processus entiers de vie et de mort, sous l’hypothèse que certaines quantités, naturellement associées à des inégalités de Hardy dans ce contexte, approchent leur supremum au bord de leur domaine de définition. La preuve se ramène au cas de la constante de Poincaré, à l’aide de comparaisons exactes entre entropie et variances appropriées.

An explicit formula for the logarithmic Sobolev constant relative to real diffusions or to birth and death integer-valued processes is presented, under an asymptotical assumption for quantities naturally associated to Hardy’s inequalities in this context. Taking into account exact comparisons between entropy and appropriate variances, the proof comes back to Poincaré’s inequality situation.

In this article, we consider an n-dimensional stochastic differential equation driven by a fractional Brownian motion with Hurst parameter H>1/3. We derive an expansion for E[f(X_t)] in terms of t, where X denotes the solution to the SDE and f:ℝⁿ→ℝ is a regular function. Comparing to F. Baudoin and L. Coutin, Stochastic Process. Appl. 117 (2007) 550–574, where the same problem is studied, we provide an improvement in three different directions: we are able to consider equations with drift, we parametrize our expansion with trees, which makes it easier to use, and we obtain a sharp estimate of the remainder for the case H>1/2.

Dans cet article, nous considérons une équation différentielle stochastique multidimensionnelle dirigée par un mouvement brownien fractionnaire d’indice de Hurst H>1/3. Nous développons E[f(X_t)] par rapport à t, où on note X la solution de l’EDS et où f:ℝⁿ→ℝ est une fonction régulière. Par rapport à F. Baudoin et L. Coutin, Stochastic Process. Appl. 117 (2007) 550–574, où le même problème est étudié, nous améliorons leur résultat dans trois directions différentes: nous traîtons le cas d’une équation avec dérive, nous paramétrons notre développement à l’aide d’arbres, ce qui le rend plus facile à utiliser, et nous proposons un contrôle plus fin du reste quand H>1/2.

We consider a simple random walk of length $N$, denoted by $(S_i)_{i∈\{1, …, N\}}$, and we define $(w_i)_{i≥1}$ a sequence of centered i.i.d. random variables. For $K∈ℕ$ we define $((γ_i^{−K}, …, γ_i^K))_{i≥1}$ an i.i.d sequence of random vectors. We set $β∈ℝ$, $λ≥0$ and $h≥0$, and transform the measure on the set of random walk trajectories with the Hamiltonian $λ∑_{i=1}^N(w_i+h)\mathrm{sign}(S_i)+β∑_{j=−K}^K∑_{i=1}^Nγ_i^j\mathbf{1}_{\{S_i=j\}}$. This transformed path measure describes an hydrophobic(philic) copolymer interacting with a layer of width $2K$ around an interface between oil and water.

In the present article we prove the convergence in the limit of weak coupling (when $λ$, $h$ and $β$ tend to 0) of this discrete model towards its continuous counterpart. To that aim we further develop a technique of coarse graining introduced by Bolthausen and den Hollander in Ann. Probab. 25 (1997) 1334–1366. Our result shows, in particular, that the randomness of the pinning around the interface vanishes as the coupling becomes weaker.

On considère une marche aléatoire simple de taille $N$, que l’on note $(S_i)_{i∈\{1, …, N\}}$, et on définit $(w_i)_{i≥1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. et centrées. Pour tous $K∈ℕ\cup\{0\}$ on définit $((γ_i^{−K}, …, γ_i^K))_{i≥1}$ une suite de vecteurs aléatoires i.i.d. On pose $β∈ℝ$, $λ≥0$ et $h≥0$, et on transforme la mesure de l’ensemble des trajectoires de la marche aléatoire avec le hamiltonien $λ∑_{i=1}^N(w_i+h)\mathrm{sign}(S_i)+β∑_{j=−K}^K∑_{i=1}^Nγ_i^j\mathbf{1}_{\{S_i=j\}}$. Cette mesure perturbée décrit un copolymère hydrophobe(phile) en interaction avec une bande de taille $2K$ autour d’une interface huile-eau.

Dans cette article nous prouvons la convergence dans la limite d’un couplage faible (quand $λ$, $h$ et $β$ tendent vers 0) de ce modèle discret vers son homologue continu. Dans ce but, nous développons une technique de coarse graining introduite par Bolthausen et den Hollander dans Ann. Probab. 25 (1997) 1334–1366. Ce résultat montre en particulier que le caractère aléatoire de l’accrochage autour de l’interface disparaît à mesure que le couplage s’affaiblit.

Under a well-known scaling, supercritical Galton–Watson processes Z converge to a non-degenerate non-negative random limit variable W. We are dealing with the left tail (i.e. close to the origin) asymptotics of its law. In the Böttcher case (i.e. if always at least two offspring are born), we describe the precise asymptotics exposing oscillations (Theorem 1). Under a reasonable additional assumption, the oscillations disappear (Corollary 2). Also in the Böttcher case, we improve a recent lower deviation probability result by describing the precise asymptotics under a logarithmic scaling (Theorem 7). Under additional assumptions, we even get the fine (i.e. without log-scaling) asymptotics (Theorem 8).

Par un changement d’échelle bien connu, on obtient que les processus de Galton–Watson supercritiques sur Z convergent vers une variable aléatoire non-degénerée W. Nous considérons les estimées asymptotiques à gauche (près de l’origine) de la distribution. Dans le cas Böttcher (quand il y a au moins deux progénitures en chaque point), nous obtenons l’asymptotique exacte présentant un comportement oscillatoire (Théorème 1). Sous une autre hypothèse raisonnable, les oscillations s’annulent (Corollaire 2). Pour le cas Böttcher, nous présentons un résultat sur la probabilité des grandes déviations, amélioré en exprimant l’asymptotique exacte sous un scaling logarithmique (Théorème 7). En imposant d’autres conditions, nous obtenons des asymptotiques plus raffinées (Théorème 8), c’est-à-dire sans log-scaling.

We consider an initial population whose size evolves according to a continuous state branching process. Then we add to this process an immigration (with the same branching mechanism as the initial population), in such a way that the immigration rate is proportional to the whole population size. We prove this continuous state branching process with immigration proportional to its own size is itself a continuous state branching process. By considering the immigration as the apparition of a new type, this construction is a natural way to model neutral mutation. It also provides in some sense a dual construction of the particular pruning at nodes of continuous state branching process introduced by the authors in a previous paper. For a critical or sub-critical quadratic branching mechanism, it is possible to explicitly compute some quantities of interest. For example, we compute the Laplace transform of the size of the initial population conditionally on the non-extinction of the whole population with immigration. We also derive the probability of simultaneous extinction of the initial population and the whole population with immigration.

Nous considérons une population initiale dont la taille évolue selon un processus de branchement continu. Nous ajoutons ensuite à ce processus une population migrante (qui évolue selon le même mécanisme de branchement que la population initiale), avec un taux d’immigration propotionnel à la taille de la population totale. Nous montrons que ce processus de branchement continu avec immgration proportionnelle à sa taille est encore un processus de branchement continu. En voyant cette immigration comme l’apparition d’un nouveau type, cette construction est un moyen naturel de modéliser des mutations, neutres vis à vis de l’évolution. Elle peut être également vue comme la construction duale de l’élagage aux noeuds de l’arbre généalogique associé à la population totale, introduit par les auteurs dans un article précédent. Lorsque le mécanisme de branchement est quadratique et critique ou sous-critique, il est possible de calculer explicitement certaines quantités intéressantes. Par example, nous calculons la transformée de Laplace de la taille de la population initiale conditionnellement à la non-extinction de la population totale. Nous en déduisons également la probabilité d’extinction simultanée de la population initiale et de la population totale.

We prove a kind of logarithmic Sobolev inequality claiming that the mutual free Fisher information dominates the microstate free entropy adapted to projections in the case of two projections.

Nous prouvons un genre d’inégalité de Sobolev logarithmique qui montre que l’information de Fisher libre domine l’entropie de micro-états libre adaptée aux projections dans le cas de deux projections.

In the Hammersley–Aldous–Diaconis process, infinitely many particles sit in ℝ and at most one particle is allowed at each position. A particle at x, whose nearest neighbor to the right is at y, jumps at rate y−x to a position uniformly distributed in the interval (x, y). The basic coupling between trajectories with different initial configuration induces a process with different classes of particles. We show that the invariant measures for the two-class process can be obtained as follows. First, a stationary M/M/1 queue is constructed as a function of two homogeneous Poisson processes, the arrivals with rate λ and the (attempted) services with rate ρ>λ. Then put first class particles at the instants of departures (effective services) and second class particles at the instants of unused services. The procedure is generalized for the n-class case by using n−1 queues in tandem with n−1 priority types of customers. A multi-line process is introduced; it consists of a coupling (different from Liggett’s basic coupling), having as invariant measure the product of Poisson processes. The definition of the multi-line process involves the dual points of the space–time Poisson process used in the graphical construction of the reversed process. The coupled process is a transformation of the multi-line process and its invariant measure is the transformation described above of the product measure.

Dans un processus de Hammersley nous considérons une infinité de particules sur la droite réelle; et il ne peut pas y avoir plus d’une particule sur chaque position. Une particule située en x et ayant pour plus proche voisine (sur sa droite) une particule située en y, saute avec un taux y−x à une position aléatoire choisie uniformément dans l’interval (x, y). Le couplage basique entre des trajectoires ayant des configurations initiales différentes induit un processus avec des particules de classes différentes. Nous donnons une construction explicite de la mesure invariante pour le processus ayant n classes de particules. Pour démontrer que la mesure est invariante nous introduisons un autre processus appelé “multi-ligne”. La mesure invariante pour ce processus est un produit de plusieurs processus de Poisson. La définition du processus multi-ligne met en jeu les “points duaux” (de l’espace-temps), qui apparaient naturellement dans la construction graphique du processus renversé par rapport au temps.

Suppose that red and blue points occur as independent homogeneous Poisson processes in ℝ^d. We investigate translation-invariant schemes for perfectly matching the red points to the blue points. For any such scheme in dimensions d=1, 2, the matching distance X from a typical point to its partner must have infinite d/2th moment, while in dimensions d≥3 there exist schemes where X has finite exponential moments. The Gale–Shapley stable marriage is one natural matching scheme, obtained by iteratively matching mutually closest pairs. A principal result of this paper is a power law upper bound on the matching distance X for this scheme. A power law lower bound holds also. In particular, stable marriage is close to optimal (in tail behavior) in d=1, but far from optimal in d≥3. For the problem of matching Poisson points of a single color to each other, in d=1 there exist schemes where X has finite exponential moments, but if we insist that the matching is a deterministic factor of the point process then X must have infinite mean.

Supposons que des points rouges et bleus évoluent suivant des processus de Poisson homogènes indépendants dans ℝ^d. Nous nous intéressons à des procédés invariants par translation appariant de manière bijective les points rouges et les points bleus. En dimensions d=1, 2, quelque soit le procédé considéré, la distance d’appariement (matching distance) X entre un point typique et son partenaire possède nécessairement un d/2-ème moment infini. En revanche, en dimensions d≥3 il existe des procédés pour lesquels X a des moments exponentiels finis. Le “mariage stable” de Gale–Shapley est un procédé naturel, obtenu en appariant une à une les paires mutuellement les plus proches. L’un des principaux résultats de cet article est que dans le cas de ce procédé, la distance d’appariement X est majorée par une loi de puissance. Une minoration en loi de puissance est également vérifiée. En particulier, le mariage stable est essentiellement optimal (en terme de queue de distribution) en dimension d=1, mais il est loin d’être optimal en dimensions d≥3. Dans le cas du problème qui consiste à apparier des points d’une seule couleur issus d’un processus de Poisson, en dimension d=1 il existe des procédés pour lesquels X a des moments exponentiels finis. Par contre, si l’on demande en plus que l’appariement soit une fonction déterministe du processus ponctuel, alors X a nécessairement une moyenne infinie.