On suprema of Lévy processes and application in risk theory

Abstract

Let X̂=C−Y where Y is a general one-dimensional Lévy process and C an independent subordinator. Consider the times when a new supremum of X̂ is reached by a jump of the subordinator C. We give a necessary and sufficient condition in order for such times to be discrete. When this is the case and X̂ drifts to −∞, we decompose the absolute supremum of X̂ at these times, and derive a Pollaczek–Hinchin-type formula for the distribution function of the supremum.

Soit Y un processus de Lévy réel quelconque et C un subordinateur indépendant de Y. On considère les temps en lesquels le processus X̂=C−Y atteint un nouveau maximum par un saut de C. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que l’ensemble de ces temps soit discret. Lorsque tel est le cas et que le processus X̂ dérive vers −∞, nous décomposons son maximum absolu en cette suite de temps. Nous déduisons alors de cette décomposition une formule du type Pollaczek–Hinchin pour la loi du maximum absolu de X̂.