Anomalous heat-kernel decay for random walk among bounded random conductances

Abstract

We consider the nearest-neighbor simple random walk on ℤ^d, d≥2, driven by a field of bounded random conductances ω_xy∈[0, 1]. The conductance law is i.i.d. subject to the condition that the probability of ω_xy>0 exceeds the threshold for bond percolation on ℤ^d. For environments in which the origin is connected to infinity by bonds with positive conductances, we study the decay of the 2n-step return probability $\mathsf{P}_{\omega}^{2n}(0,0)$. We prove that $\mathsf{P}_{\omega}^{2n}(0,0)$ is bounded by a random constant times n^−d/2 in d=2, 3, while it is o(n⁻²) in d≥5 and O(n⁻²log n) in d=4. By producing examples with anomalous heat-kernel decay approaching 1/n², we prove that the o(n⁻²) bound in d≥5 is the best possible. We also construct natural n-dependent environments that exhibit the extra log n factor in d=4.

On considère la marche aléatoire aux plus proches voisins dans ℤ^d, d≥2, dont les transitions sont données par un champ de conductances aléatoires bornées ω_xy∈[0, 1]. La loi de conductance est iid sur les arêtes, et telle que la probabilité que ω_xy>0 soit supérieure au seuil de percolation (par arêtes) sur ℤ^d. Pour les environnements dont l’origine est connectée à l’infini à l’aide d’arêtes à conductances positives, on étudie l’asymptotique de la probabilité de retour à l’instant 2n : $\mathsf{P}_{\omega}^{2n}(0,0)$. On prouve que $\mathsf{P}_{\omega}^{2n}(0,0)$ est borné par Cn^−d/2 pour d=2, 3 (où C est une constante aléatoire) alors que c’est en o(n⁻²) pour d≥5 et O(n⁻²log n) pour d=4. En construisant des exemples dont les noyaux de la chaleur décroissent anormalement en avoisinant 1/n², on peut prouver que la borne o(n⁻²) est optimale pour d≥5. On parvient également à construire des environnements naturels dépendants de n qui présentent le facteur log n supplémentaire en dimension d=4.