An isoperimetric inequality on the ℓp balls

Abstract

The normalised volume measure on the ℓⁿ_p unit ball (1≤p≤2) satisfies the following isoperimetric inequality: the boundary measure of a set of measure a is at least cn^1/pãlog^1−1/p(1/ã), where ã=min(a, 1−a).

Nous prouvons une inégalité isopérimétrique pour la mesure uniforme V_p,n sur la boule unité de ℓⁿ_p (1≤p≤2). Si V_p,n(A)=a, alors V⁺_p,n(A)≥cn^1/pãlog^1−1/p1/ã, où V⁺_p,n est la mesure de surface associée à V_p,n, ã=min(a, 1−a) et c est une constante absolue.

En particulier, les boules unités de ℓⁿ_p vérifient la conjecture de Kannan–Lovász–Simonovits (Discrete Comput. Geom. 13 (1995)) sur la constante de Cheeger d’un corps convexe isotrope.

La démonstration s’appuie sur les inégalités isopérimétriques de Bobkov (Ann. Probab. 27 (1999)) et de Barthe–Cattiaux–Roberto (Rev. Math. Iberoamericana 22 (2006)), et utilise la représentation de V_p,n établie par Barthe–Guédon–Mendelson–Naor (Ann. Probab. 33 (2005)) ainsi qu’un argument de découpage.