Estimation in models driven by fractional Brownian motion

Abstract

Let {b_H(t), t∈ℝ} be the fractional Brownian motion with parameter 0<H<1. When 1/2<H, we consider diffusion equations of the type $$X(t)=c+∫_0^tσ(X(u)) \mathrm{d}b_H(u)+∫_0^tμ(X(u)) \mathrm{d}u.$$ In different particular models where σ(x)=σ or σ(x)=σ x and μ(x)=μ or μ(x)=μ x, we propose a central limit theorem for estimators of H and of σ based on regression methods. Then we give tests of the hypothesis on σ for these models. We also consider functional estimation on σ(⋅) in the above more general models based in the asymptotic behavior of functionals of the 2nd-order increments of the fBm.

Soit {b_H(t), t∈ℝ} le mouvement Brownien fractionnaire de paramètre 0<H<1. Lorsque 1/2<H, nous considérons des équations de diffusion de la forme $$X(t)=c+∫_0^tσ(X(u)) \mathrm{d}b_H(u)+∫_0^tμ(X(u)) \mathrm{d}u.$$ Nous proposons dans des modèles particuliers où, σ(x)=σ ou σ(x)=σ x et μ(x)=μ ou μ(x)=μ x, un théorème central limite pour des estimateurs de H et de σ, obtenus par une méthode de régression. Ensuite, pour ces modèles, nous proposons des tests d’hypothèses sur σ. Enfin, dans les modèles plus généraux ci-dessus nous proposons des estimateurs fonctionnels pour la fonction σ(⋅) dont les propriétés sont obtenues via la convergence de fonctionnelles des accroissements doubles du mBf.