Acta Mathematica

Sur la limitation du degré des coëfficients des équations différentielles algébriques à points critiques fixes

Jean Chazy

Full-text: Open access

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Source
Acta Math., Volume 41 (1916), 29-69.

Dates
First available in Project Euclid: 31 January 2017

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Digital Object Identifier
doi:10.1007/BF02422939

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR1555145

Zentralblatt MATH identifier
46.0683.01

Rights
1916 © Almqvist & Wiksells Boktryckeri-A.-B.

Citation

Chazy, Jean. Sur la limitation du degré des coëfficients des équations différentielles algébriques à points critiques fixes. Acta Math. 41 (1916), 29--69. doi:10.1007/BF02422939. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887464


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Literatur

  • Bendixson, Acta Mathematica, t. 24, p. 81; Picard, Traité d'analyse, 2ème éd., t. III, p. 258.
  • Ce second chapitre est une partie d'un Mémoire auquel l'Académie des Sciences de Paris a décerné un Grand Prix des Sciences Mathématiques en décembre 1912.
  • Si l'exposant n est non plus un nombre entier, mais un nombre réel supérieur à 1, ou même un nombre imaginaire dont la partie réelle est supérieure à 1, les résultats relatifs à l'existence des intégrales sont encore valables. Dans le cas où l'exposant n est de la forme p/q, p et q désignant deux entiers supérieurs à 1 (p>q), ces intégrales admettent comme développement asymptotique une série entière en x1/q: ce cas se ramène au cas où l'exposant n est entier par le changement de variable (x1/q, x)
  • Journal de l'Ecole Polytechnique, t. XXI, cah. 36, p. 182.
  • La fonction entière associée à la série entière $b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \cdots + b_n x^n + \ldots ,$ dont le rayon de convergence n'est pas nul, est la fonction entière définie par la série $b_0 + \frac{{b_1 x}}{I} + \frac{{b_2 x^2 }}{{I.2}} + \cdots + \frac{{b_n x^n }}{{n!}} + \ldots $ De même la série entière en x qui vérifie l'équation $x^3 \frac{{dy}}{{dx}} - ay = x\left( {b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n + \cdots } \right),$ est convergente ou divergente suivant que la quantité a est ou n'est pas l'affixe d'un zéro de chacune des deux fonctions entières $\begin{gathered} b_0 + \frac{{b_2 x}}{I} + \frac{{b_4 x^2 }}{{I.3}} + \frac{{b_6 x^3 }}{{n!}} + \ldots , \hfill \\ b_1 + \frac{{b_3 x}}{2} + \frac{{b_5 x^2 }}{{2.3}} + \frac{{b_7 x^3 }}{{2.4.6}} + \ldots \hfill \\ \end{gathered} $ Et ainsi de suite.
  • Journal de Liouville. 6a série, t. VI, p. 185–186.
  • M. Goursat a appliqué à l'équation (9) un procédé analogue (Cours d'analyse, 2ème éd., t. II, p. 504).
  • M. Boutroux a retrouvé les résultats classiques relatifs à l'équation (9) par une méthode voisine, en introduisant un paramètre dans cette équation, et en développant les intégrales suivant les puissances de ce paramètre; M. Boutroux a appliqué cette même méthode à l'équation (2) (Leçons sur les fonctions définies par les équations différentielles du premier ordre, p. 114, 125; Journal de Liouville, 63 série, t. VI, p. 194).
  • Journal de l'Ecole Polytechnique, t. XXI, 36e cahier, p. 175.
  • Journal de l'Ecole Polytechnique, 2ème série, 9e cahier, p. 49.
  • Cf. supra, p. 47, note 1.
  • Bulletin de la Société Mathématique de France, t. XXVIII, p. 214.
  • Cf. Acta Mathematica, t. 34, p. 364.