Stability of the logarithmic Sobolev inequality via the Föllmer process

Abstract

We study the stability and instability of the Gaussian logarithmic Sobolev inequality, in terms of covariance, Wasserstein distance and Fisher information, addressing several open questions in the literature. We first establish an improved logarithmic Sobolev inequality which is at the same time scale invariant and dimension free. As a corollary, we show that if the covariance of the measure is bounded by the identity, one may obtain a sharp and dimension-free stability bound in terms of the Fisher information matrix. We then investigate under what conditions stability estimates control the covariance, and when such control is impossible. For the class of measures whose covariance matrix is dominated by the identity, we obtain optimal dimension-free stability bounds which show that the deficit in the logarithmic Sobolev inequality is minimized by Gaussian measures, under a fixed covariance constraint. On the other hand, we construct examples showing that without the boundedness of the covariance, the inequality is not stable. Finally, we study stability in terms of the Wasserstein distance, and show that even for the class of measures with a bounded covariance matrix, it is hopeless to obtain a dimension-free stability result. The counterexamples provided motivate us to put forth a new notion of stability, in terms of proximity to mixtures of the Gaussian distribution. We prove new estimates (some dimension-free) based on this notion. These estimates are strictly stronger than some of the existing stability results in terms of the Wasserstein metric. Our proof techniques rely heavily on stochastic methods.

On étudie les propriétés de stabilité et d’instabilité de l’inégalité de Sobolev logarithmique gaussienne, en termes de covariance, de distance de Wasserstein et d’information de Fisher, répondant à plusieurs questions ouvertes dans la littérature. On établit d’abord une forme améliorée de l’inégalité de Sobolev logarithmique qui est à la fois invariante par transformation linéaire et indépendante de la dimension. Comme corollaire, on obtient une inégalité de stabilité optimale et indépendante de la dimension pour les mesures dont la covariance est majorée par l’identité. On se penche ensuite sur la question de savoir dans quelle mesure le déficit dans l’inégalité de Sobolev logarithmique contrôle la covariance de la mesure. On montre notamment que si la covariance est majorée par l’identité, alors à covariance fixée, la mesure gaussienne minimise ce déficit. D’un autre côté on présente un contrexemple montrant que sans hypothèse de covariance bornée, l’inégalité est instable. Enfin, on étudie la question de la stabilité en termes de distance de Wasserstein, et on montre que même en se restreignant aux mesures dont la covariance est bornée, il n’est pas possible d’obtenir un résultat de stabilité qui soit indépendant de la dimension. Les contrexemples que nous exhibons suggèrent une nouvelle notion de stabilité, en terme de proximité de la mesure à un mélange de gaussiennes. On démontre plusieurs résultats dans cette direction, certains étant indépendants de la dimension. Ces résultats sont par ailleurs plus forts que certains résultats de stabilité qu’on trouve dans la littérature. Nos techniques de preuve reposent fortement sur des méthodes stochastiques.